寡占市場 - 等價競爭 Cournot Competition
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寡占市場 - 等價競爭 Cournot Competition
寡占市場競爭型態的分類
等價競爭市場的決策原理

賽局理論 重要的觀念


寡占市場 - 等價競爭 Cournot Competition

2011-08-16 00:26:44

苗衍慶

「等價競爭」市場是寡占市場中的一種類型;在這種市場中,所有公司所供應的產品都非常近似,對產品的銷售量而言,品牌效應也無法造成明顯的影響;因此,沒有一家公司,能夠影響產品的市場價格;產品在市場上的售價,主要是受到市場上供應量大小的影響,產品和市場價格的關係,通常都可以用一條下降的「需求曲線」來表達;簡單的說就是當市場上的供應量變大時,價格就會被壓低;反之,當供應量不足時,價格就會上揚。
正由於這樣的市場特性,供應商之間就變成是生產數量的競爭,而不是考量該如何決定產品的售價;因此,本篇文章的目標,是探討在「等價競爭」市場中,生產廠商如何使用賽局理論,來決定最佳的生產數量。

等價競爭市場的特性

進行「等價競爭」市場的競爭分析時,有一個很有名的模型叫作「古諾模型」(Cournot Model) ,這個模型對市場的特性,做了下列幾個假設:

  • 產品在市場上的價格由產品的總供應量決定,沒有一個公司有能力影響產品的市價,
  • 所有公司生產的產品,特性都非常接近,買方幾乎不會感受到不同公司提供產品的差異,
  • 當個別公司在決定它的生產數量時,都是各自獨立進行;在決策過程中,任何一個公司,都不知道其他公司將會生產多少數量,
  • 市場上,互相競爭的公司的數量,處於一種穩定的狀態,
  • 所有在市場上的公司,都處於互相競爭的狀態,「企業聯合」的現象不會發生,
  • 每一個公司在決定產品的生產數量時,都能夠做理性的思考;盡一切可能的預測,其他公司可能生產的數量,並據以決定自己生產的數量,以便讓自己公司的獲利達到最大。

LCD 面板的市場就具有這樣的特性,不論是奇美電、友達、中華映管,韓國三星或是韓國 LG 等等,由於相互競爭激烈,市場價格主要是受到這些廠商的總供貨量影響,個別廠商無法影響市場價格。
魚獲拍賣市場,也是一個有相當程度符合「等價競爭」特徵的市場;由於魚貨具有不容易保存的特性,每天凌晨,漁船將捕撈到的魚貨送到拍賣市場銷售時,必須在當天的拍賣過程,將所有捕撈到的魚貨,全部銷售出去,否則就必須報廢或拋棄;因此,魚貨的價格,完全由拍賣當時的買方決定,而買方在決定價格時,又受到當天市場上魚貨的總供應量影響;當魚貨的供應量充足時,拍賣的價格就很難拉高;反之,當魚貨的供應量不足時,就會造成買方的競爭,拍賣出去的價格就會提高。

在等價競爭市場中,應該生產多少數量,才有可能獲得最大的利潤?

由於在「等價競爭」市場中,產品的價格是由市場上的總供應量所決定,產品的價格和市場供應量之間關係,可以用一條需求曲線來表示 Demand Curve(圖一);如果大家都搶著生產產品,市場的總供應量就會增加,產品的價格就會因而滑落,每一家公司可以得到的銷售利潤也會跟著變動;各家公司銷售利潤的總金額,可以用下面的公式計算:
利潤 = (產品單價 – 產品單位生產成本) X生產數量       (公式一)
假設產品的單位生產成本是固定的,影響利潤大小的主要因素就和「產品單價」與「生產數量」的乘積,呈現正比的關係;為了了解利潤變動的情況,現在以「圖一」的需求曲線為例,做一些說明:

  • 如果生產的數量很大,使得產品的單價,降低到產品的單位生產成本時,公式一之中的 (產品單價 – 產品單位生產成本)就變為 “0” ,這時候利潤也就等於 “0”
  • 如果生產數量為 “0”,則利潤也就為 “0”
  • 如果生產的數量適中,使得產品的單價,能夠維持高於單位生產成本,這時候的利潤就會大於 “0”

從上面的簡單分析,我們可以了解一個大致的現象:

  • 當產品的供貨量非常大或是非常小時,都會讓銷售利潤降到很低
  • 當產品的供貨量適中時,反而可以得到比較好的利潤

因此,我們可以大膽地假設,一定會有一個最恰當的生產數量,讓我們的「銷售獲利」變成最大;至於如何才能找到這個最恰當的生產數量,就成為一個企業的重要議題;下面我就介紹如何用賽局理論的分析方法,來決定這個最恰當的生產數量。

應用賽局理論的方法,來決定最恰當的生產數量

為了讓大家更容易了解賽局理論的分析方法,我先從一個比較簡單的狀況開始:市場中只有兩家公司互相競爭;等到完成這個簡單的分析後,我再將結果擴大成為一般性的解:市場中有多家公司互相競爭

兩家賣方的解 (Duopoly)

在一個蔬果拍賣市場中,每天都有兩家公司 (A 公司 和 B公司) 運送大白菜來此拍賣;大白菜賣出的價格 P 受到當天總供應量 Qt的影響,在大白菜拍賣市場的需求曲線這個市場中,P和 Qt之間的關係,可以用下面的式子 (圖二:需求曲線) 表示:
P = 40 – 2 X Qt     (公式二)       其中,
Qt = Qa + Qb,
Qa 是A 公司供應的數量,Qb 是B 公司供應的數量,
價格是以「千元/每公噸」為單位,數量是以「公噸」為單位
這兩家公司每天都必須面對的問題就是:今天應該運送多少公噸的大白菜到市場銷售,才能讓公司的獲利最大
這兩家公司每天在做決定時,都無法知道競爭對手當日打算運送多少數量到市場銷售;同時,由於兩家公司的車隊及人員的投資都屬於「沉沒成本」(sunk cost),因此在做運送數量的決定時,不需要將其列入考慮。
假設兩家公司的生產成本相同,都是 5千元/每公噸
根據 (公式一),每家公司的銷售利潤就可以用下面的式子表示:
Πa(Qa, Qb) = (P – 5) X Qa
Πb(Qa, Qb) = (P – 5) X Qb
將 (公式二) 代入上面的式子就得到:
Πa(Qa, Qb) = ((40 – 2 X Qt) – 5) X Qa = (35 – 2 X (Qa +Qb)) X Qa        (公式三)
Πb(Qa, Qb) = ((40 – 2 X Qt)–  5) X Qb = (35 – 2 X (Qa +Qb)) X Qb        (公式四)
A公司每天的決策工作,就是預估B公司會運送多少數量 (Qb) 的大白菜到市場銷售,然後根據 (公式三) 計算出自己公司最佳的運送數量 (Qa),選擇最佳數量的原則就是,這個數量 (Qa) 可以讓A公司當天的獲利金額 (Πa)達到最大。
B公司需要做的工作和A公司完全相同但是方向相反:先預估A公司會運送多少數量 (Qa) 的大白菜到市場銷售,然後根據 (公式四) 計算出自己公司最佳的運送數量 (Qb),這個最佳數量 Qb可以讓B公司當天的獲利金額 (Πb)達到最大。
道理講起來好像很簡單,但是,關鍵問題是,誰有能力,能夠把對方的可能運送數量,預估的比較好呢
賽局理論的分析方法,對這個問題,提供了一個比較符合邏輯的答案。在說明這個分析方法之前,我先介紹一下什麼是「賽局理論的解

賽局理論的解

假設在某一時期,有 A、B雙方進入了一個對立的局面,每一方都希望從這個對立的局勢中,爭取到自己最大的利益。
在這個對立的情勢裡,A、B雙方都有幾個可以選擇的行動策略 (例如,A 的策略選項有 A1, A2, A3;B的策略選項有 B1, B2, B3, B4) ,至於各自選擇哪一個行動策略對自己比較有利,這就和當時對方選擇了哪一個策略有關;因此雙方的「最佳策略選擇」,就處在一種互相影響、互相牽制的情況。
當我們說,A、B雙方在某個時間進入了「賽局理論的解」的狀態,意思是說,這個時候 A和B都已經各自從自己的策略選項中,選擇了一個特定的策略;例如,A選擇了策略 A2而 B選擇了策略 B4,我稱 (A2, B4) 為一個策略組合;因為 (A2, B4) 是這個對立賽局的解,因此下面的敘述就會成立:
A B任何一方在這個情況下,都沒有片面改變自己選擇的意願
到底要在什麼情況下,才會發生沒有人願意改變自己現有選擇的狀態呢?
當 (A2, B4) 是一個賽局理論的解時,下面的情況就會發生:
如果 B沒有變更他的選擇 (策略 B4) ,而這時 A若是選擇了A2以外的策略,其結果都會使 A的利益小於選擇 A2時可以獲得的利益;因此, A就不會有改變既有選擇的意願;B的情況和 A完全相同,如果 B 選擇了B4以外的策略,都會使 B的利益不如選擇 B4時可以獲得的利益,因此, B也不會有改變既有選擇的意願。
一旦雙方的選擇符合賽局解的策略組合時,雙方的競爭關係就進入一個穩定的狀態,因為這個時候,任何一方所選擇的策略,都是他的「最佳反應策略」;只要對方沒有改變它的策略,這時候自己所選擇的策略,就是讓自己能夠獲得最大利益的策略。賽局理論對於符合這樣特性的解,使用了一個專有名詞,叫做「納許均衡」(Nash Equilibrium)。

等價競爭的賽局解

現在回到我們原先的議題,在「等價競爭」的市場中,它的「賽局解」又是什麼呢?
在拍賣大白菜的市場中,雙方的競爭策略,都是要選擇一個適當的運送數量,以便讓自己的銷售利潤獲得最大;因此,雙方的策略選項相同,都是選擇一個最佳的運送數量,這個數量的數值範圍應該落在0 和 20之間 (請觀察圖二的需求曲線),所以,這個賽局解就可以表示為:(Qa*, Qb*),Qa*是 A公司的賽局解,Qb*是 B公司的賽局解。
當A公司選擇運送Qa* 數量的大白菜到市場銷售時,B 公司就應該選擇運送Qb* 數量的大白菜;如果B 公司的運送數量不等於Qb* (不論是較大或是較巴小),那麼B 公司的獲利就會小於選擇運送Qb* 數量時的獲利,因此B 公司不會有意願變更它的選擇。
上面的敘述,當 A公司和B 公司的角色互換時,情況也相同。因此,(Qa*, Qb*) 就分別是兩家公司當日應該運送的最佳數量。

計算最佳運送數量 (Qa*, Qb*) 的方法

找出 (Qa*, Qb*)  的方法有很多種,在這裡我介紹兩種方法,第一種方法是根據賽局理論的基本觀念和原理,用分析的方式找出;第二種方式則是使用數學技巧,找出解答。
第一種方法可以讓我們學習到賽局理論的觀念,知道了更多的基本觀念,可以讓我們面對其他類型的問題時,更容易了解或是想出解決問題的方法;第二種方法則是直接用微積分求解最大值的技巧,讓我們可以快速的找到答案。

[ 用基本觀念求解 ]

首先,我使用分析的方式來討論,A公司應該如何決定它的最佳運送數量。
在這裡我要使用一個賽局理論的觀念,叫做「最佳反應曲線」;在說明「最佳反應曲線」之前,必須先了解一個名詞:「最佳反應策略

假設B公司打算運送 12公噸的大白菜到拍賣市場,這個時候 A公司對B公司的最佳反應策略,就是選擇一個數量 Qa,這個Qa可以讓A公司在文字方塊:    圖 三A 公司的獲利  B公司決定運送 12公噸大白菜的情況下,獲得最大的銷售利潤;計算Qa 的方法就是利用 (公式三)
Πa(Qa, Qb) = (35 – 2 X (Qa +Qb)) X Qa
把 Qb = 12 代入上式得到
Πa(Qa) = (35 – 2 X (Qa +12)) X Qa = (11 – 2 X Qa) X Qa
A 公司的運送數量和獲利之間的關係顯示在 (圖三) 中,從圖中就可以觀察出,當 Qa等於 2.75公噸時,A 公司得到最大的獲利 ( Πa(3) = 15.125 ),因此,A 公司的「最佳反應策略」就是 ”運送2.75公噸大白菜到拍賣市場銷售” ,而此時A 公司的獲利為15,125 元。
瞭解了什麼是「最佳反應策略」之後,我現在介紹什麼是「最佳反應曲線」。在前面的說明中提到了,當B公司已經決定運送 “12公噸” 的大白菜時, A 公司應該選擇運送 ”2.75公噸” 數量的大白菜,才能使自己公司的獲利達到最高;那麼如果B公司決定運送 “10公噸” 時,A 公司又該運送多少呢?如果B公司決定運送 “5公噸”,A 公司又該如何決定呢?
最佳反應曲線」的精神,就是列舉對手可能選擇的所有策略,然後針對對手的每一個策略,將自己的最佳對應策略,用繪圖的方式表現A 公司的最佳反應曲線出來。
在拍賣大白菜的例子中,B公司可以選擇的數量範圍落在 0公噸和 20公噸之間 (參考圖二,假設大白菜的售價必須大於 0),利用公式三,任選 一個 Qb 數值 (0 到 20 之間) 就可以找出讓A 公司的獲利 (Πa) 為最大的 Qa 值,然後將所有的這些 (Qa, Qb) 畫成一張曲線圖 (圖 四),這條曲線代表A 公司對B公司最佳反應策略的集合,也就稱為A公司的最佳反應曲線。
使用和分析 A 公司相同的方法,我們也可以找出B公司的最佳反應曲線;然後把兩家公司的最佳反應曲線畫在同一個座標圖中 (圖 五),就得到了大白菜拍賣市場的「最佳反應曲線」。
這個市場的最佳運送數量組合 (賽局解:Qa*, Qb*) ,就是兩家公司最佳反應曲線的交點,因為這個交點代表了兩家公司都選擇了自己的「最佳反應策略」;也就是說,A公司選擇了運送Qa* ,而此時 B公司的最佳反應策略就是Qb*,同時,B公司選擇了運送Qb* ,而此時 A公司的最佳反應策略就是Qa*;由於雙方都採取了最佳反應策略,因此,在這個情況下,兩家公司的最佳反應曲線沒有一家公司有意願變更它現有的策略,所以一旦選擇 了策略組合(Qa*, Qb*),就會讓兩家公司的競爭策略進入一種穩定的狀態,這個狀態也就成為這個市場的策略解。
反之,如果A公司的選擇偏離了這個策略數量,那麼B公司就可以找到另外一個數量,使它的獲利最大化;但是B公司的這個數量,又會促使A公司進一步變更它的數量決策,以優化它的利益,影響所及,B公司又會根據A公司新的決定,進一步變更它的策略;如此週而復始,雙方的決策一直處於一種不穩定的狀態,但是經過一段時間的變動後,雙方的策略最終還是會收斂到 (Qa*, Qb*) 的穩定狀態 (圖 六)。

 [ 用數學方法求解 ]

我先說明一些求解的基本觀念,之後再介紹如何使用數學找出「等價競爭」市場的「賽局解」。
在本文前面的「賽局理論的解」段落中,已經介紹了所謂的「解」的觀念;簡單的說,要想辦法找到一個雙方都認同的策略組合,讓下面的事情發生:
如果雙方在選擇策略時,都已經決定採用這個策略組合的建議,則任何一方都沒有片面改變自己選擇的意願雙方的策略最終還是會收斂到 (Qa*, Qb*)
因為,任何一方若是片面的改變了它的策略,只會讓自己的獲利結果變得更糟糕;換句話說,這個策略組合是穩定的。
現在,我使用數學的語言重新說這句話

  • 對 A 公司而言,在B 公司不改變策略的情況下 (Qb* 等於一個常數),A 公司選擇Qa 的值,讓獲利 (Πa) 最大。因此,只要使用 (公式三) 取「獲利:Πa」對自己公司「數量:Qa」的微分式後,令其等於 “0” 就可以得到Qa 的解 (Qa*)。
  • 對 B 公司而言,在A 公司不改變策略的情況下 (Qa* 等於一個常數),B 公司選擇Qb 的值,讓獲利 (Πb) 最大。因此,只要使用 (公式四) 取「獲利:Πb」對自己公司「數量:Qb」的微分式後,令其等於 “0” 就可以得到Qb 的解 (Qb*)。
  • 將1 和 2 項的式子視為聯立方程式,就可以得到 Qa 和 Qb 的明確數值解。

數學解 題程序

  • 將 (公式三) 對 Qa 微分後等於 “0” 的式子為 35 – 4Qa – 2Qb = 0        (公式五)
  • 將 (公式四) 對 Qb 微分後等於 “0” 的式子為 35 – 4Qb – 2Qa = 0        (公式六)
  • 解聯立方程式 (公式五 +公式六) 得到 Qa = Qb = 5.833 公噸

兩家公司的最佳運送數量相同,都是 5.833 公噸。因此,市場上大白菜的總數量為5.833 + 5.833 = 11.667公噸 (略低於獨佔市場時的最佳生產數量: 12.5公噸)

多家賣方的解 (Oligopoly)

「寡占競爭」是居於「市場獨占」和「完全競爭」這兩種極端競爭型態之間的一種市場結構,在下面的討論中,我將揭露一個重要的關聯:「獨占市場」和「完全競爭市場」都只是「古諾模型」(等價競爭市場) 的一個特例;當「等價競爭市場」中只有一家供應商時,等價競爭市場就退化為「獨占市場」;當「等價競爭市場」中有無數的供應商時,「等價競爭市場」就轉化為「完全競爭市場」。因此,「古諾模型」其實就是針對具有這類型競爭型態 (供應商之間互相競爭數量而非競爭價格)  的一個通用模型。
我現在分析一個具有 N 家供應商互相競逐的市場,為了便於分析,假設所有供應商的生產成本 ( C = 5 ) 都相同,並且具有前面例子中相同的的需求曲線:P = 40 – 2 X Qt。 Qi 代表第 i 個供應商提供的產品數量,市場總供應量等於所有供應商供貨數的總和,標示為Qt = S Qi,i = 1 ~ N。介紹一個新的符號 Q -i = Qt – Qi 代表市場總量扣除第 i 個供應商的供貨量,這樣一來,第  i 個供應商的獲利就等於:
Πi(Q1, Q2, …, QN) = (40 – 2 X Qt) X Qi – 5 X Qi
=  (35 – 2 X (Qi + Q -i)) X Qi
第 i 個供應商的最佳反應曲線:
¶Πi/¶Qi = 35 – 4Qi – 2 Q -i = 0
Qi BR (Q1, Q2, … , Qi-1, Qi+1, … ,  QN) = (35 – 2 Q –i) / 4
符合「納許均衡」的策略組合標示為:(Q1*, Q2*, … , QN*):由於所有的供應商的特徵都完全相同,因此,「納許均衡」策略應該具有對稱性,也就是說所有供應商的策略數量都應該相同,所以Qi* = Q*,而且  Q –I = (N – 1) Q* ,Qt = N Q*;我們就可將上面的式子簡化為:
Qi BR (Q1, Q2, … , Qi-1, Qi+1, … ,  QN) =  Q* = (35 – 2 (N – 1) Q*) / 4
或是說
Q* = 35 / [ 2 X (1 + N) ]
當 N = 1 時,Q* = 8.75公噸 (等於 “獨占市場” 的最大化利潤之解)